Kind ist krank - wie läuft das ab? Kind ich privat, ich gesetzl versichert

Hallo!
Ich bin gesetzlich Krankenversichert und meine Kinder + Mann Privatversichert.
Nun war einer meiner Söhne krank und ich musste 2 Tage daheim bleiben. Habe vom Kinderartzt eine "Ärztliche Bescheinigung für den Bezug von Krankengeld bei Erkrankung eines Kindes" bekommen.
Meine gesetzliche Krankenkasse sagt, dass sie das nichts angeht, weil die Kinder Privatversichert sind.
Die private Krankenkasse sagt, dass gehe sie nichts an, weil sie nur die Behandlung und kein krankengeld bezahlt.

Was mache ich nun mit dieser Bescheinigung?
Muss nicht mein Arbeitgeber an 11 Tagen im Jahr dann für mich bezahlen, obwohl ich daheim ein krankes Kind pflege??

Würde mich freuen, wenn sich jemand auskennt.
Danke!